República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armada
UNEFA _ Núcleo Lara



Elaborado Por:

Mujica Zaida CI: 17783561
Quiroz Yusmery CI: 17814194
Asuaje Javier CI: 17813612
Anderson Reyes CI: 17783839
Profesor: Argenis Pérez
Materia: Matemática
Sección: 2T5EI




FRACCIONES

Al dividir una unidad en partes iguales, cada una de la misma representa una fracción. La unidad puede ser una cartulina, un hilo, la cantidad de días de un mes o de alumnos de un curso y otros.
Si dividimos la unidad en cuatro partes iguales y tomamos tres de ellas, esa cantidad es una fracción de la unidad y la escribimos así.

3 Numerador Cantidad de partes que tomamos
-
4 Denominador Cantidad de partes iguales en la que dividimos la unidad.

Tres cuartos



¿COMO SE NOMBRAN LAS FRACCIONES?

Se dice el nombre del número que figura en el numerador (dos, tres, diecisiete) y el nombre que corresponde al denominador, según el siguiente criterio:

Si el denominador es se dice:
Si el denominador es se dice:
2 Medios
3 Tercio
4 Cuarto
5 Quintos
6 Sextos
7 Séptimos
8 Octavos
9 Novenos
10 Decimos



Si el denominador es mayor que 10 se dice el numero seguido de “avos” (Onceavos, quinceavos), excepto si es una potencia de 10, en cuyo casos se dice Centésimos, milésimas, diezmilésimas, millonésimas, u otros.

5/3 Cinco tercio 6/23 Seis Veintitresavos 15/1000 Quince Milésimas

Una fracción es una división indicada.

Una Fracción indica una división entre el numerador y el denominador.

Ana, Luís y Hugo compraron cuatro pizzas; todos comieron igual cantidad y no sobro nada cada uno comió 4/3 de pizza.



Es decir que cada 4 unidades divididas entre tres es igual a 4/3.

¿MAYOR IGUAL O MENOR QUE UNO?

Si un número es menor que el denominador, la fracción es menor que uno.

¾ < 1

Si el numerador es igual que el denominador, la fracción es igual a uno.

4/4 = 1


Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que
Uno.



5/4 > 1


FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS

Las fracciones menores que 1 se llaman fracciones propias y las que son iguales o mayores que uno se llaman fracciones impropias.

4/9 Fracción Propia

7/7 Fracción Impropia


FRACCIONES ESPECIALES

Ø Las fracciones de denominador 1 son iguales al número entero expresado.

2/1 = 2 53/1 = 53

Ø Todas las fracciones con numerador cero son iguales a 0.

0/28 = 0 0/31 = 0

Ø Una fracción no puede tener 0 como denominador, porque una fracción es una

FRACCIONES EQUIVALENTES
División entere el numerador y el denominador, y no es posible dividir por cero. Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismo número se obtiene una fracción equivalente.
Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador 7. El resultado es: 14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes
2
14
----
----
3
21
¿Cómo comprobamos que son equivalentes? Podemos multiplicar en cruz y el resultado tiene que coincidir. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42 = 3 x 14
Otra forma de comprobarlo si tienes a mano una calculadora... es viendo si tienen el mismo valor decimal..
2

14


----
=
----
=
0,6666666666666666
3

21


Ejemplo por simplificación: Ejemplo 5/10. El numerador e puede dividir 5, 1 y 0. Y el denominador se puede dividir entre 0, 1, 2, 5 y 10. Como tenemos que escoger un divisor mayor que la unidad, escogemos el 5.
La nueva fracción es: 1/2. Por tanto ya tenemos dos fracciones equivalentes.
5

1
----
=
----
10

2

CLASIFICACION DE LAS FRACCIONES
Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre las que están:
Según la relación ente el numerador y el denominador:
Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador
Fracción impropia: fracción en donde el denominador es menor que el numerador
Según la relación entre los denominadores:
Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador. }
Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores.
Según la relación entre el numerador y el denominador:
Reductibles: fracciones en las que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada.
Irreductibles: fracciones en las que el numerador y el denominador son primos entre sí. No pueden ser simplificadas.
v Hay muchos tipos de fracciones:
Una fracción común es un número racional escrito como un entero (el numerador) dividido por un entero no nulo (el denominador). Existen varias subcategorías de fracciones comunes:
Fracción irreducible: fracción común cuyo numerador es entero, el denominador es entero positivo y el máximo común divisor de los dos es 1; es decir, el numerador y el denominador son primos entre sí. En otras palabras, se le llama fracción irreducible a aquellas fracciones que han sido simplificadas a su mínima expresión de tal manera que no se puede simplificar más. (Ejemplo: 27/18 = 9/6 = 3/2).
Fracción propia: fracción común que tiene un valor comprendido entre cero y uno
Fracción impropia: fracción común mayor que 1.
Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
Fracción egipcia: suma de fracciones unitarias.
Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias.
Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término auto contradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
Una fracción continua es una expresión como ésta:
Donde los ai son enteros positivos.
Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.
Fracción entera: es la que equivale a uno
FRACCIONES DE CANTIDAD
Si queremos dividir una cantidad en varias partes e indicar un número de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador. Así, si queremos indicar tres cuartos de 453, hay que dividir 453 entre 4 y multiplicar el resultado por 3 [(453:4) x3]. El número obtenido es la fracción que queremos indicar.
OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma de fracciones homogéneas
Para sumar dos o más fracciones homogéneas, se suman los numeradores y se deja el denominador común.
Ejemplo:

Suma de fracciones heterogéneas
La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:
Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
Se calculan los
numeradores con la fórmula: numerador x denominador común y dividido por denominador.
Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).


Suma de fracciones de distinto denominador
Ejemplo:
1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene que
2. Se calculan los numeradores.
· Numerador de la primera fracción:
· Numerador de la segunda fracción:
· La suma se reduce a las siguientes fracciones:
3. Se suman los numeradores:

Ejemplo:
Se resolvería de la siguiente forma:
La fracción resultante es y los es una reducción ya que si observamos el numerador y el denominador son divisibles por tres, de ahí resulta:
El secreto es multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, posteriormente se suma la multiplicación del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y todo eso dividido por la multiplicación de los dos denominadores.
Aquí no calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

ü Resta de fracciones
La resta de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que la diferencia entre ambas.
Resta de fracciones homogéneas
Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja el denominador común.
Ejemplo:
·
Resta de fracciones heterogéneas
La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:
1. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:
· (mínimo común múltiplo de 4 y 2)
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)
(6*4/4=6)
·
Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)
(1*4/2= 2)
·
3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)
·
ü Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones es una operación aritmética con fracción, en la cual partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que será el producto de las anteriores.
Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador y el denominador de la fracción producto.
Para multiplicar fraccionarios se usan 3 procesos, la cual son utilizados muy frecuentemente
ü División de fracciones
La división de fracciones se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:
Multiplicar de forma cruzada
Multiplicar de "forma cruzada" las fracciones, es decir, multiplicar numerador por denominador, y denominador por numerador:
Ejemplo:
Fracciones
"Invertir" la segunda fracción y multiplicar "directamente", es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador:
Ejemplo:
Representar como fracción de fracciones
Se representa la primera fracción en el numerador y la segunda en el denominador; se obtendrá el resultado dividiendo el producto de "extremos" entre el producto de "medios":
Ejemplo:
Una vez terminado el calculo se hallará la fracción equivalente de menor denominador entero
ü Comparación de fracciones
Comparar fracciones, para valorar cual es mayor y su proporción, debemos hallar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.
Fracciones con el mismo denominador
Para comparar fracciones que tienen el mismo denominador, solo hay que comparar los numeradores para comprobar cual es mayor.
Resulta mayor la que tiene mayor numerador.
Ejemplo:
Comparemos las fracciones y
La primera fracción es mayor, ya que 9 > 3.
Fracciones con distinto denominador
Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador.
Ejemplo:
Comparemos las fracciones y
Hallamos el mínimo común denominador = 20, resultando: y
Como 15 > 12, la fracción mayor es , por tanto: >
ü Amplificación y simplificación de fracciones
En matemática, amplificar una fracción es la acción de multiplicar tanto el numerador como el denominador de ésta, por un mismo número, con el objetivo de obtener una fracción equivalente [1] a la fracción inicial. La simplificación o reducción de fracciones a la acción de dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número con el objetivo de obtener una fracción equivalente.
Amplificación de fracciones
El procedimiento es válido para todo número real distinto de cero, ya que, haciendo uso de la propiedad que posee el elemento Neutro multiplicativo [2] del conjunto de Números Reales (Anillo con unidad), se puede tomar una fracción que sea equivalente a 1 (elemento neutro) de tal manera que su numerador y denominador sean números reales iguales no nulos. Lo anterior se escribe como sigue.
Sean números reales cualesquiera distintos de cero, entonces se tiene que:

No es válida para el real cero porque la división por cero no está definida.
Aplicaciones de la amplificación de fracciones Este procedimiento matemático es usado con frecuencia en muchas demostraciones matemáticas, ya que cualquier expresión que sea multiplicada por 1 no altera su valor. Así entonces, puede crearse una fracción equivalente a uno que nos sea útil en nuestra demostración.
(Una función parecida cumple el elemento neutro aditivo de lo números reales, ya que al sumar cero tampoco se altera la expresión).
Otro ejemplo muy conocido es el de utilizar esta propiedad en la racionalización de fracciones, donde se usa la propiedad del elemento neutro multiplicativo para sacar [3] la raíz inexacta de un número real del denominador. Ver ejemplo 2.
También se usa para comparar fracciones. Acá también es válida la simplificación, que en el fondo es lo mismo, ya que hace uso de las mismas propiedades y procedimientos. Ver ejemplo 3.
Ejemplos de amplificación de fracciones
Ejemplo 1
Demostrar que:
.
Demostración:
Multiplicando por 1 el lado derecho de la identidad, tenemos que:
Luego,
.
Que es lo que queríamos demostrar.
Nótese que este procedimiento es válido sólo si el producto de las tangentes de x e y son distintos de menos uno.
Ejemplo 2
Racionalizar la expresión siguiente:
Multiplicando por uno tenemos:
Luego,
O también en el caso siguiente:
Racionalizar la expresión:
Multiplicando por el conjugado de z dividido en sí mismo tenemos.
.
Ejemplo 3
La amplificación puede usarse, entre otras cosas, para saber cuál es la mayor de dos fracciones con diferente denominador (amplificando la fracción de menor denominador hasta dar con una fracción de igual denominador a la otra y comparando después los numeradores).
Si se quiere saber qué fracción es mayor:
Amplificamos la primera por cinco quintos y la segunda por tres tercios:
Esto es,
La idea es que ambas tengan el mismo denominador, así, se comparan los numeradores y se decide cuál es mayor.
pudiendo de esta manera comparar las fracciones:
Y establecer por último la relación:
Ejemplo 4
También se usa este procedimiento para sumar fracciones (sumas y restas)
Simplificación de fracciones
En matemáticas se conoce como simplificación o reducción de fracciones a la acción de dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número con el objetivo de obtener una fracción equivalente.
Ejemplo de simplificación de fracciones
La fracción 2/4 puede simplificarse dividiendo 2:2=1 y 4:2=2, con lo que se obtiene la fracción 1/2 (2/4 = 1/2). Aquella fracción que no puede ser simplificada recibe el nombre de fracción irreducible. Una fracción es irreducible cuando, tanto numerador como denominador son relativamente primos (primos entre sí).
NUMERO MIXTO
Un número mixto está formado por un número natural y una fracción.
Todas las fracciones mayores que la unidad se pueden expresar en forma de número mixto.
Hay dos casos:
Primero. Pasar de fracción a número mixto. Ejemplo 8/5. Se hace la división 8:5= 1 y el resto es 3. Por tanto: 1 es el número natural y 3 es el numerador de la fracción y le denominador no cambia, es decir 5.

8


3
----
=
1
----
5


5

Segundo: Pasar de número mixto a fracción. El número natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador. Ejemplo 1 + 2/3. Operamos: 1X3 = 3+2 = 5

2

5
1
----
=
----

3

3

Número primo
El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.
Los números primos menores que cien, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única.
Fracción propia
Una fracción propia es una Fracción, distinta de cero, en la cual su numerador sea menos que su denominador. En consecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad.
Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión "tres cuartos superficie de la Tierra es agua", o "sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso". De ahí se da la relación a un porcentaje.
El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia.
Ejemplos: [editar]
("ocho veinteavos") - Simplificada es
("ocho décimos")
("diez doceavos")
("cinco décimos")
Definiciones Relacionadas.
Una fracción impropia es una fracción que no es propia y que está escrita en la forma numerador/denominador. Una fracción mixta es una forma especial de escritura de las fracciones impropias respecto de las fracciones propias. En efecto, como una fracción impropia s / d es igual a un número entero más una fracción propia, podemos escribir:
donde E y n son el cociente entero y el resto de la división entre s y d, y se cumple por tanto: s = Ed + n
Por ejemplo:
, y 16 = 3 * 5 + 1
Las expresiones con fracciones mixtas se observan usualmente en recetarios, donde puede leerse: "tres y media (31 / 2) cucharadas de...".
Las fracciones propias con numerador 1 se denominan fracciones unitarias, y se designan por un medio, un tercio, otros.
NÚMERO DECIMAL
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.
1) 1 / 2 = 0.5 que es el resultado de dividir 1: 2
2) 1 / 3 = 0.333... Que es el resultado de dividir 1: 3
3) 1 / 4 = 0.25 que es el resultado de dividir 1: 4
4) 7 / 15 = 0.4666 que es el resultado de dividir 7: 15

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES



Número Decimal Exacto



/



Número Decimal



Decimal Periódico Puro

\

/



Número Decimal Inexacto





\





Decimal Periódico Mixto
ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
En esta operación es importante tener en cuenta el valor posicional de las cifras decimales, de tal manera que las comas decimales resulten en una misma columna.
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
En esta operación es importante tener en cuenta el valor posicional de las cifras decimales, de tal manera que las comas decimales resulten en una misma columna.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Ten presente que el producto debe tener tantas cifras decimales como hay en los factores.
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para dividir decimales el dividendo y el divisor deben multiplicarse por 10, 100, 1000, etc. con la finalidad que el divisor se convierta en entero si no lo es. Además, debe cuidarse ubicarse correctamente la coma decimal en el cociente.